湖南省常德市2019-2020学年高一数学上学期第一次月考试题（含解析）

一、选择题（本大题12小题，每小题5分，共60分）

1. 若sinα＞0，且cosα＜0，则角α是（）

A. 第一象限角B. 第二象限角C. 第三象限角D. 第四象限角

【答案】B

【解析】

试题分析：直接由三角函数的象限符号取交集得答案．

解：由sinα＞0，可得α为第一、第二及y轴正半轴上的角；

由cosα＜0，可得α为第二、第三及x轴负半轴上的角．

∴取交集可得，α是第二象限角．

故选B．

考点：三角函数值的符号．

2.函数 $$$$ $$$$ 最小正周期为（　）

A. $$$$ B. $$$$ C. $$$$ D. $$$$

【答案】B

【解析】

【分析】

根据正切函数的周期公式 $$$$ 进行计算即可.

【详解】函数 $$$$ 的最小正周期为： $$$$ ，

故选：B.

【点睛】本题考查正切函数的最小正周期，熟记公式是解题的关键，属于基础题.

3.已知A={第一象限角}，B={锐角}，C={小于90°的角}，那么A、B、C关系是( )

A. B=A∩CB. B∪C=CC. A $$$$ CD. A=B=C

【答案】B

【解析】

【分析】

由集合A，B，C，求出B与C的并集，判断A与C的包含关系，以及A，B，C三者之间的关系即可．

【详解】由题B $$$$ A，

∵A＝{第一象限角}，B＝{锐角}，C＝{小于90°的角}，

∴B∪C＝{小于90°的角}＝C，即B $$$$ C，

则B不一定等于A∩C，A不一定是C的真子集，三集合不一定相等，

故选B．

【点睛】此题考查了集合间的基本关系及运算，熟练掌握象限角，锐角，以及小于90°的角表示的意义是解本题的关键，是易错题

4.化简： $$$$ （　）

A. $$$$ B. $$$$ C. $$$$ D. $$$$

【答案】A

【解析】

【分析】

根据平面向量减法法则和相反向量的意义计算即可.

【详解】 $$$$ ，

故选：A.

【点睛】本题主要考查平面向量减法的三角形法则，属于基础题.

5.在ΔABC中,若 $$$$ ,则 $$$$ =（）

A. 6B. 4C. -6D. -4

【答案】C

【解析】

【分析】

向量的点乘， $$$$

【详解】 $$$$ ,选C.

【点睛】向量的点乘，需要注意后面乘的是两向量的夹角的余弦值，本题如果直接计算的话， $$$$ 的夹角为∠BAC的补角

6.已知向量 $$$$ ，向量 $$$$ ，则向量 $$$$ 在向量 $$$$ 方向上的投影为（）

A. $$$$ B. $$$$ C. $$$$ D. $$$$

【答案】B

【解析】

由题意可得： $$$$ ，

则：向量 $$$$ 在向量 $$$$ 方向上 $$$$ 投影为 $$$$ .

本题选择B选项.

点睛：在向量数量积的几何意义中，投影是一个数量，不是向量．设向量a，b的夹角为θ，当θ为锐角时，投影为正值；当θ为钝角时，投影为负值；当θ为直角时，投影为0；

7.已知 $$$$ ， $$$$ ，且 $$$$ 与 $$$$ 夹角为 $$$$ ，则 $$$$ 等于（　）

A. 1B. 3C. $$$$ D. $$$$

【答案】B

【解析】

【分析】

先根据平面向量的运算法则对式子展开，然后根据平面向量的数量积公式计算即可.

【详解】因为 $$$$ ， $$$$ ，且 $$$$ 与 $$$$ 夹角为 $$$$ ，

所以 $$$$ .

故选：B.

【点睛】本题主要考查平面向量的数量积的计算，属于基础题.

8.函数 $$$$ 的图象（）

A. 关于点 $$$$ 对称B. 关于直线 $$$$ 对称

C. 关于点 $$$$ 对称D. 关于直线 $$$$ 对称

【答案】A

【解析】

【分析】

分别求出函数 $$$$ 的对称中心坐标和对称轴方程，然后对 $$$$ 赋整数值得出结果.

【详解】对于函数 $$$$ ，令 $$$$ ，得 $$$$ ， $$$$ ，

令 $$$$ ，得 $$$$ ， $$$$ ，

所以，函数 $$$$ 的图象的对称中心坐标为 $$$$ ，对称轴为直线 $$$$ ，

令 $$$$ ，可知函数 $$$$ 图象的一个对称中心坐标为 $$$$ ，故选A.

【点睛】本题考查三角函数的对称中心和对称轴方程，一般先求出对称中心坐标和对称轴方程通式，然后通过赋值法得到，考查计算能力，属于基础题.

9.函数 $$$$ $$$$ 单调递增区间是( )

A. $$$$ B. $$$$

C. $$$$ D. $$$$

【答案】B

【解析】

$$$$ .

则 $$$$ 的单调减区间即为函数 $$$$ 的单调递增区间.

即 $$$$ .

解得 $$$$

故选B.

10.要得到函数 $$$$ 的图象，只需将 $$$$ 图象上的所有点（）

A. 向左平行移动 $$$$ 个单位长度B. 向右平行移动 $$$$ 个单位长度

C $$$$ 向左平行移动 $$$$ 个单位长度D. 向右平行移动 $$$$ 个单位长度

【答案】D

【解析】

试题分析： $$$$ ，向右平移 $$$$ 个单位得 $$$$ .选D.

考点：三角函数图像变换

【思路点睛】三角函数的图象变换，提倡“先平移，后伸缩”，但“先伸缩，后平移”也常出现在题目中，所以也必须熟练掌握.无论是哪种变形，切记每一个变换总是对字母x而言. 函数y＝Asin(ωx＋φ)，x∈R是奇函数⇔φ＝kπ(k∈Z)；函数y＝Asin(ωx＋φ)，x∈R是偶函数⇔φ＝kπ＋(k∈Z)；函数y＝Acos(ωx＋φ)，x∈R是奇函数⇔φ＝kπ＋(k∈Z)；函数y＝Acos(ωx＋φ)，x∈R是偶函数⇔φ＝kπ(k∈Z).

11.已知函数 $$$$ 的定义域为 $$$$ ，值域为 $$$$ ，则 $$$$ 的值不可能是（）

A. $$$$ B. $$$$ C. $$$$ D. $$$$

【答案】D

【解析】

【详解】 $$$$ 的周期为 $$$$ ， $$$$ 不可能超过一个周期，如果超过一个周期值域为 $$$$ ， $$$$ ，所以 $$$$ 的值不可能是 $$$$

12.函数y=Asin(ωx+φ)(A＞0,ω＞0)的部分图象如图所示,则f(1)+f(2)+f(3)+ $$$$ +f(11)的值等于

A. 2B. $$$$ C. $$$$ D. $$$$

【答案】C

【解析】

由图可知， $$$$ ，函数的周期为 $$$$ 所以 $$$$ .φ= $$$$ .所以 $$$$ .所 $$$$ = $$$$ = $$$$ = $$$$ = $$$$ = $$$$

$$$$ = $$$$ = $$$$ .所以 $$$$ .故选C.

二、填空题（本大题4小题，每小题5分，共20分）

13.已知 $$$$ ，则 $$$$ _______

【答案】 $$$$

【解析】

【分析】

将 $$$$ 展开，然后分子分母同时除以 $$$$ ，得到一个关于 $$$$ 的式子，代值计算即可.

【详解】 $$$$

$$$$

$$$$

$$$$

$$$$ .

故答案为： $$$$ .

【点睛】本题考查同角三角函数的基本关系以及“弦化切”的应用，属于常考题.

14.函数 $$$$ ，若 $$$$ ，则 $$$$ ____

【答案】 $$$$

【解析】

试题分析： $$$$ ， $$$$

考点：函数求值

15.已知一个扇形周长为4，面积为1，则其中心角等于 (弧度).

【答案】2

【解析】

试题分析：由周长为4，可得 $$$$ ，又由面积为1，可得 $$$$ ，解得 $$$$ ，∴ $$$$ .

考点：弧度制下的扇形的相关公式.

16.已知向量 $$$$ ， $$$$ ，则 $$$$ 的最大值为_________

【答案】3

【解析】

$$$$ 分析】

对 $$$$ 先平方再开方，然后利用辅助角公式及三角函数的有界性计算即可.

【详解】 $$$$ $$$$ $$$$ $$$$ $$$$ $$$$ ，

又 $$$$ ，

$$$$ $$$$ ，

$$$$ $$$$ .

所以 $$$$ 的最大值为 $$$$ .

故答案为： $$$$ .

【点睛】本题主要考查平面向量的坐标运算、三角函数的性质以及辅助角公式，属于常考题.

三、计算题（本大题6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17.已知向量 $$$$ ， $$$$ ，求 $$$$ 及向量 $$$$ 与 $$$$ 的夹角 $$$$ .

【答案】 $$$$ ； $$$$

【解析】

【分析】

根据平面向量数量积坐标计算公式直接计算即可.

【详解】解： $$$$ 向量 $$$$ ， $$$$ ,

$$$$ $$$$ ， $$$$ ， $$$$ ，

$$$$ $$$$ ，

又 $$$$ ，

$$$$ $$$$ .

【点睛】本题考查平面向量的坐标运算及夹角公式，熟记公式是解题的关键，属于常考题.

18.（1）求值 $$$$

（2）化简 $$$$

【答案】（1） $$$$ ；（2） $$$$ .

【解析】

【分析】

（1）先利用诱导公式化简成特殊角的三角函数，然后根据特殊角的三角函数值进行计算；

（2）直接用诱导公式化简即可.

【详解】（1） $$$$

$$$$

$$$$

$$$$ ；

（2） $$$$

$$$$

$$$$

$$$$

【点睛】本题考查三角函数式的化简，熟练运用诱导公式进行计算是关键，诱导公式口诀“奇变偶不变，符号看象限”，属于常考题.

19.平面内给定三个向量 $$$$ ， $$$$ ， $$$$

（1）求 $$$$ ；

（2）若 $$$$ ，求实数 $$$$ 的值.

【答案】（1） $$$$ ；（2） $$$$ .

【解析】

【分析】

（1）先根据平面向量的坐标计算 $$$$ ，再根据平面向量的模长计算公式进行计算；

（2）根据向量平行的条件即可得出.

【详解】解：（1）∵ $$$$

∴ $$$$ ；

（2）∵ $$$$ ， $$$$ ，

且 $$$$

∴ $$$$ .

【点睛】本题考查平面向量平行的坐标表示以及模长计算，熟记公式是解题的关键，属于基础题.

20.已知 $$$$ ， $$$$ .

（1）若 $$$$ 与 $$$$ 的夹角为 $$$$ ，求 $$$$ ;

（2）若 $$$$ 与 $$$$ 垂直，求 $$$$ 与 $$$$ 的夹角.

【答案】（1） $$$$ ；（2） $$$$ .

【解析】

【分析】

（1）先计算出 $$$$ ，再根据 $$$$ 代值进行计算；

（2）设 $$$$ 与 $$$$ 的夹角为 $$$$ ，若 $$$$ 与 $$$$ 垂直，则有 $$$$ ，由此求得 $$$$ 的值，然后得出 $$$$ 的值.

【详解】解：（1）∵ $$$$ ， $$$$ ， $$$$ 与 $$$$ 的夹角为 $$$$ ，

∴ $$$$ ，

∴ $$$$ ；

（2）设 $$$$ 与 $$$$ 的夹角为 $$$$ ，

∵ $$$$ ，

∴ $$$$ 即 $$$$ ，

∴ $$$$ ，

∴ $$$$ ，

又∵ $$$$ ，

∴ $$$$ ，

即 $$$$ 与 $$$$ 的夹角为 $$$$ .

【点睛】本题考查向量的模的计算、向量垂直的条件以及向量夹角的计算，应正确理解并熟练运用公式进行计算，属于常考题.

21.已知A、B、C是△ABC的三个内角，向量m＝(－1， $$$$ )，n＝(cosA，sinA)，且m·n＝1.

(1)求角A；

(2)若 $$$$ ＝－3，求tanC．

【答案】(1) $$$$ ;(2) $$$$ .

【解析】

试题分析:(1)由m·n＝1，代入坐标用两角和与差的正弦公式化简,即可求出角A;(2)将已知条件用完全平方公式和平方差公式化简,可得 $$$$ ＝－3,分式上下同除以 $$$$ ,解出 $$$$ ,又tanC＝tan[π－(A＋B)],利用诱导公式和两角和与差的正切公式化简,把 $$$$ 和 $$$$ 的值代入即可.

试题解析:

(1)∵m·n＝1，

∴ $$$$ sinA－cosA＝1,2(sinA· $$$$ －cosA· $$$$ )＝1，

sin(A－ $$$$ )＝ $$$$ ，

∵0<A<π，－ $$$$ <A－ $$$$ < $$$$ ，

∴A－ $$$$ ＝ $$$$ .∴A＝ $$$$ .

(2)由题知 $$$$ ＝－3，

∴ $$$$ ＝－3

∴ $$$$ ＝－3

∴ $$$$ ＝－3，∴tanB＝2.

∴tanC＝tan[π－(A＋B)]

＝－tan(A＋B)＝－ $$$$ ＝ $$$$ .

点睛:本题考查平面向量数量积的坐标运算,同角三角函数的基本关系和两角和与差的正切公式. 平面向量的数量积计算问题，往往有两种形式，一是利用数量积的定义式，二是利用数量积的坐标运算公式，涉及几何图形的问题，先建立适当的平面直角坐标系，可起到化繁为简的妙用. 利用向量夹角公式、模公式及向量垂直的充要条件，可将有关角度问题、线段长问题及垂直问题转化为向量的数量积来解决．列出方程组求解未知数.

22.已知函数 $$$$ 的最大值为 $$$$ ， $$$$

的图像的相邻两对称轴间的距离为 $$$$ ，与 $$$$ 轴的交点坐标为 $$$$ .

（1）求函数 $$$$ 的解析式；

（2）设数列 $$$$ ， $$$$ 为其前 $$$$ 项和，求 $$$$ .

【答案】（1） $$$$ （2） $$$$ .

【解析】

【分析】

（1）根据题中条件，先求出 $$$$ ，再由对称轴距离得到 $$$$ ，求出 $$$$ ，进而可求出结果；

（2）先由（1）得到 $$$$ ，分别讨论 $$$$ 为偶数与 $$$$ 为奇数，即可求出结果.

【详解】（1）∵ $$$$ ，依题意： $$$$ ，∴ $$$$ .

又 $$$$ ，∴ $$$$ ，得 $$$$ .∴ $$$$ . 令 $$$$ 得： $$$$ ，又 $$$$ ，∴ $$$$ .

故函数 $$$$ 的解析式为： $$$$

（2）由 $$$$ 知： $$$$ .

当 $$$$ 为偶数时， $$$$ ;

当 $$$$ 为奇数时， $$$$ .

∴ $$$$ .

【点睛】本题主要考查三角函数的性质，熟记相关知识点即可，属于常考题型.